Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 4 x - 5$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} + 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $3 x^{2} + 4$ y $0$ .

$3 x^{2} + 4$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$3 x^{2} + 4 = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6