Cálculo Ejemplos

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Paso 1.5.2

Suma $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ y $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 6 x + 2$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Paso 4.1.5.2

Suma $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ y $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Paso 5.2.1.3

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Paso 5.2.2.1.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

Paso 5.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

Paso 5.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

Paso 5.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

Paso 5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 5.4

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 5.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 5.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{4}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 (- \frac{4}{3}) + 2$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{3}$ al numerador.

$- 6 (\frac{- 4}{3}) + 2$

Paso 9.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 4}{3} + 2$

Paso 9.1.1.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 2 \frac{- 4}{3} + 2$

Paso 9.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot - 4 + 2$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$8 + 2$

Paso 9.2

Suma $8$ y $2$ .

$10$

Paso 10

$x = - \frac{4}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - \frac{4}{3}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{4}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{4}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{4}{3}) = - {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{4^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 1 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.4

Multiplica $\frac{4^{3}}{3^{3}}$ por $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}) + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + 1 (\frac{4^{2}}{3^{2}}) + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.9

Multiplica $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.12

Multiplica $8 (- \frac{4}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.12.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) - 3$

Paso 11.2.1.12.2

Combina $- 8$ y $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} - 3$

Paso 11.2.1.12.3

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} - 3$

Paso 11.2.1.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} - 3$

Paso 11.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Multiplica $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} - 3$

Paso 11.2.2.2

Multiplica $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} - 3$

Paso 11.2.2.3

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 3$

Paso 11.2.2.4

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 3$

Paso 11.2.2.5

Escribe $- 3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3}{1}$

Paso 11.2.2.6

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 11.2.2.7

Multiplica $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 - 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.4.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 - 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.4.2

Multiplica $- 32$ por $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 - 3 \cdot 27}{27}$

Paso 11.2.4.3

Multiplica $- 3$ por $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 - 81}{27}$

Paso 11.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.5.1

Suma $64$ y $48$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{112 - 288 - 81}{27}$

Paso 11.2.5.2

Resta $288$ de $112$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 176 - 81}{27}$

Paso 11.2.5.3

Resta $81$ de $- 176$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 257}{27}$

Paso 11.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{257}{27}$

Paso 11.2.6

La respuesta final es $- \frac{257}{27}$ .

$y = - \frac{257}{27}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 2$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 \cdot 2 + 2$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$- 12 + 2$

Paso 13.2

Suma $- 12$ y $2$ .

$- 10$

Paso 14

$x = 2$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 2$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = - {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) - 3$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = - 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) - 3$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (2) = - 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) - 3$

Paso 15.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = - 8 + 4 + 8 (2) - 3$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $8$ por $2$ .

$f (2) = - 8 + 4 + 16 - 3$

Paso 15.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Suma $- 8$ y $4$ .

$f (2) = - 4 + 16 - 3$

Paso 15.2.2.2

Suma $- 4$ y $16$ .

$f (2) = 12 - 3$

Paso 15.2.2.3

Resta $3$ de $12$ .

$f (2) = 9$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $9$ .

$y = 9$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = - x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$ .

$(- \frac{4}{3}, - \frac{257}{27})$ es un mínimo local

$(2, 9)$ es un máximo local

Paso 17