Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3} = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2 u$ de $56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $2 u$ de $56 u$ .

$2 u (28) - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (28) + 2 u (- u) - 4 u^{3} = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $2 u$ de $- 4 u^{3}$ .

$2 u (28) + 2 u (- u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza $2 u$ de $2 u (28) + 2 u (- u)$ .

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Paso 2.1.2.5

Factoriza $2 u$ de $2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2})$ .

$2 u (28 - u - 2 u^{2}) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza.

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Paso 2.1.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.3.1.1

Reordena los términos.

$2 u (- 2 u^{2} - u + 28) = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 28 = - 56$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.1.3.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$2 u (- 2 u^{2} - (u) + 28) = 0$

Paso 2.1.3.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $7$ más $- 8$

$2 u (- 2 u^{2} + (7 - 8) u + 28) = 0$

Paso 2.1.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u (- 2 u^{2} + 7 u - 8 u + 28) = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.3.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 u ((- 2 u^{2} + 7 u) - 8 u + 28) = 0$

Paso 2.1.3.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 u (u (- 2 u + 7) + 4 (- 2 u + 7)) = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 u + 7$ .

$2 u ((- 2 u + 7) (u + 4)) = 0$

Paso 2.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 u (- 2 u + 7) (u + 4) = 0$

Paso 2.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece $- 2 x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- 2 x + 7$ igual a $0$ .

$- 2 x + 7 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- 2 x + 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 7$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 7$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 7$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{7}{2}, - 4$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Paso 4

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Paso 5

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Rango: $(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty), {y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Paso 6