Cálculo Ejemplos

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Paso 1

Escribe $y = \sin (x) + \cos (x)$ como una función.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - \sin (x)$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 3.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 5

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Separa las fracciones.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 9

Divide $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 10

Separa las fracciones.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 11

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 12

Divide $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 13

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Paso 14

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 15

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 15.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 15.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 15.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 15.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 16

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 17

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 18

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 19

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 19.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 19.2

Combina fracciones.

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Paso 19.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 19.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 19.3

Simplifica el numerador.

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Paso 19.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 19.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 20

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 22.1

Simplifica cada término.

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Paso 22.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 22.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 22.2

Simplifica los términos.

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Paso 22.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 22.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 22.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 22.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 22.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 22.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 22.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 22.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2}$

Paso 23

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

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Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Paso 24.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 24.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 24.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 24.2.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$

Paso 24.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 25

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \sin (\frac{5 π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 26

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 26.1

Simplifica cada término.

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Paso 26.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$- - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.1.3

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 26.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.1.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 26.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 26.1.6

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 26.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 26.1.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 26.2

Simplifica los términos.

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Paso 26.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 26.2.2

Suma $\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 26.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 26.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 26.2.3.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 27

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{4}$ es un mínimo local

Paso 28

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 28.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2

Simplifica el resultado.

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Paso 28.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 28.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2.1.3

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Paso 28.2.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 28.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 28.2.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 28.2.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Paso 28.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 28.2.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 28.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 28.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Paso 28.2.2.3.2.4

Divide $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sqrt{2}$

Paso 28.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 29

Estos son los extremos locales de $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \sqrt{2})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{4}, - \sqrt{2})$ es un mínimo local

Paso 30