Cálculo Ejemplos

$x + \sqrt{1 - x}$

Paso 1

Escribe $x + \sqrt{1 - x}$ como una función.

$f (x) = x + \sqrt{1 - x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sqrt{1 - x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 2.2.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Paso 2.2.13

Resta $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Paso 2.2.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Paso 2.2.15

Combina $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Paso 2.2.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.2.17

Reescribe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.2.18

Mueve ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 3.2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Paso 3.2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x)))$

Paso 3.2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Paso 3.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x)))))$

Paso 3.2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x))))$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.9

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 3.2.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.10

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.11

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.13

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.13.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.13.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))))$

Paso 3.2.15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))))$

Paso 3.2.16

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1))$

Paso 3.2.17

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1))$

Paso 3.2.18

Combina $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2})$

Paso 3.2.19

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.20

Reescribe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 3.2.21

Mueve ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3.2.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (- {(1 - x)}^{- 1} (- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Paso 3.2.23

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot (1 {(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Paso 3.2.24

Multiplica ${(1 - x)}^{- 1}$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot ({(1 - x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}))$

Paso 3.2.25

Combina ${(1 - x)}^{- 1}$ y $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 - x)}^{- 1}}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3.2.26

Mueve ${(1 - x)}^{- 1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Paso 3.2.27

Multiplica ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1 - x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.27.1

Mueve $1 - x$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 3.2.27.2

Multiplica $1 - x$ por ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.2.27.2.1

Eleva $1 - x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 ((1 - x) {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 3.2.27.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.2.27.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 3.2.27.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Paso 3.2.27.5

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.2.28

Multiplica $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Paso 3.2.29

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3.3

Resta $\frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sqrt{1 - x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Paso 5.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 - x}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 - x$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 5.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 5.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Paso 5.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 5.1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 5.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 5.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 5.1.2.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1)$

Paso 5.1.2.13

Resta $1$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1$

Paso 5.1.2.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1$

Paso 5.1.2.15

Combina $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$1 + \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}$

Paso 5.1.2.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.2.17

Reescribe $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.1.2.18

Mueve ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.1.2.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Paso 6.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 6.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1

Cancela el factor común de $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 1 = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Reescribe la ecuación como $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ .

$- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Paso 6.5.2

Divide cada término en $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.1

Divide cada término en $- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.5.2.2.2

Divide ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

Paso 6.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.5.4

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1.1

Simplifica ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(1 - x)}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.5.4.1.1.2

Simplifica.

$1 - x = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Paso 6.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.2.1

Simplifica ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$1 - x = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Paso 6.5.4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - x = \frac{1}{2^{2}}$

Paso 6.5.4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$1 - x = \frac{1}{4}$

Paso 6.5.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.1.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = \frac{1}{4} - 1$

Paso 6.5.5.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.5.5.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$- x = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Paso 6.5.5.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- x = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Paso 6.5.5.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- x = \frac{1 - 4}{4}$

Paso 6.5.5.1.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$- x = \frac{- 3}{4}$

Paso 6.5.5.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x = - \frac{3}{4}$

Paso 6.5.5.2

Divide cada término en $- x = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.2.1

Divide cada término en $- x = - \frac{3}{4}$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Paso 6.5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Paso 6.5.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Paso 6.5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Paso 6.5.5.2.3.2

Divide $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{{(1 - x)}^{1}}}$

Paso 7.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{1 - x} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{1 - x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 7.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(1 - x)}^{1} = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (1 - x) = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.6

Multiplica.

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Paso 7.3.2.2.1.6.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- x) = 0^{2}$

Paso 7.3.2.2.1.6.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 x = 0^{2}$

Paso 7.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 - 4 x = 0$

Paso 7.3.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 4$

Paso 7.3.3.2

Divide cada término en $- 4 x = - 4$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 4$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 7.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 7.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 4}$

Paso 7.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.3.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 4$ .

$x = 1$

Paso 7.4

Establece el radicando en $\sqrt{1 - x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$1 - x < 0$

Paso 7.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x < - 1$

Paso 7.5.2

Divide cada término en $- x < - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.5.2.1

Divide cada término de $- x < - 1$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.5.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x > \frac{- 1}{- 1}$

Paso 7.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.5.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x > 1$

Paso 7.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

$x \geq 1$

$[1, \infty)$

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{3}{4}, 1$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{4 {(1 - (\frac{3}{4}))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{4 {(\frac{4 - 3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.3

Resta $3$ de $4$ .

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 10.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 10.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 10.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Paso 10.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 10.1.6.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.6.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Paso 10.1.6.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{2^{3}}}$

Paso 10.1.6.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Paso 10.2

Simplifica los términos.

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Paso 10.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 10.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Paso 10.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 10.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Paso 10.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 10.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 2)$

Paso 10.4

Multiplica $- (1 \cdot 2)$ .

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Paso 10.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 10.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 11

$x = \frac{3}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{3}{4}$ es un máximo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3}{4}$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3}{4}) = (\frac{3}{4}) + \sqrt{1 - (\frac{3}{4})}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Paso 12.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{4 - 3}{4}}$

Paso 12.2.1.3

Resta $3$ de $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 12.2.1.4

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 12.2.1.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 12.2.1.6

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 12.2.1.6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Paso 12.2.2

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 12.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 12.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 + 2}{4}$

Paso 12.2.5

Suma $3$ y $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{5}{4}$

Paso 12.2.6

La respuesta final es $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = 1$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{1}{4 {(1 - (1))}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

Simplifica la expresión.

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Paso 14.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.3

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 14.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 14.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Paso 14.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Paso 14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 14.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Paso 14.3.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{1}{0}$

Paso 14.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- \frac{1}{0}$

Paso 14.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 15

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 16