Cálculo Ejemplos

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Paso 1

Escribe $y = e^{2 x} - e^{x}$ como una función.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 e^{2 x} - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.2.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} - e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Paso 5.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Paso 6.2.2

Sea $u = e^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $e^{x}$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $u$ de $2 u^{2} - u$ .

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Paso 6.2.3.1

Factoriza $u$ de $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Paso 6.2.3.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Paso 6.2.3.3

Factoriza $u$ de $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Paso 6.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Paso 6.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 6.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 6.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 6.5

Establece $2 e^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $2 e^{x} - 1$ igual a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $2 e^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 e^{x} = 1$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $2 e^{x} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $2 e^{x} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.5.2.2.2.1.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Paso 6.5.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 6.5.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 6.5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 6.5.2.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Simplifica $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.1.6.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 10.1.7

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$1 - \frac{1}{2}$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 10.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{2}$

Paso 10.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (\frac{1}{2})$ en la expresión.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1.1

Simplifica $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 12.2.1.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 12.2.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 12.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 12.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Paso 12.2.1.6

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Paso 12.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 12.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 12.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Paso 12.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Paso 12.2.5

Resta $2$ de $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Paso 12.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Paso 12.2.7

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ es un mínimo local

Paso 14