Cálculo Ejemplos

$h (t) = t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2.5.2

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 6 t^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $t$ es $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 1.3.6.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Paso 1.3.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 1.3.9

Combina $- 6$ y $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6 t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 1.3.10

Mueve $t^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.3.11

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.12.1

Factoriza $2$ de $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Paso 1.3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Paso 1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 1.4.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}]$ .

$h'' (t) = \frac{d}{d t} (\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}]$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ como ${(t^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d t} ({(t^{\frac{1}{4}})}^{- 1}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $t^{\frac{1}{4}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{1}{4}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t^{\frac{1}{4}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- {(t^{\frac{1}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{1}{4}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- {(t^{\frac{1}{4}})}^{- 2} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{4}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{4} \cdot - 2} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5.2.3

Cancela el factor común.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5.2.4

Reescribe la expresión.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.5.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.9.2

Resta $4$ de $1$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.11

Combina $\frac{1}{4}$ y $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.12

Combina $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ y $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4}} t^{- \frac{1}{2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13

Multiplica $t^{- \frac{3}{4}}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.13.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{2}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{\frac{- 3 - 2}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13.5

Resta $2$ de $- 3$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{\frac{- 5}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.13.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{5}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.14

Mueve $t^{- \frac{5}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{1}{4 t^{\frac{5}{4}}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.15

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{4 t^{\frac{5}{4}}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{4 (4 t^{\frac{5}{4}})} + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.2.16

Multiplica $4$ por $4$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- \frac{3}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ con respecto a $t$ es $- \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}]$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d t} \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$ como ${(t^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d t} {(t^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = t^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t^{\frac{3}{4}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d t} (t^{\frac{3}{4}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{3}{4}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t^{\frac{3}{4}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- {(t^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{3}{4}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- {(t^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.3

Cancela el factor común.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.2.4

Reescribe la expresión.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $4$ de $3$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{3}{4}$ y $t^{- \frac{1}{4}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} \frac{3 t^{- \frac{1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{3 t^{- \frac{1}{4}}}{4}$ y $t^{- \frac{3}{2}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{1}{4}} t^{- \frac{3}{2}}}{4})$

Paso 2.3.13

Multiplica $t^{- \frac{1}{4}}$ por $t^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Mueve $t^{- \frac{3}{2}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 (t^{- \frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{4}})}{4})$

Paso 2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.3

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.13.4.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.13.6.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.6.2

Resta $1$ de $- 6$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{\frac{- 7}{4}}}{4})$

Paso 2.3.13.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{7}{4}}}{4})$

Paso 2.3.14

Mueve $t^{- \frac{7}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + 1 (\frac{3}{2}) \cdot \frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}}$

Paso 2.3.16

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}}$

Paso 2.3.17

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{3 \cdot 3}{2 (4 t^{\frac{7}{4}})}$

Paso 2.3.18

Multiplica $3$ por $3$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{9}{2 (4 t^{\frac{7}{4}})}$

Paso 2.3.19

Multiplica $4$ por $2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{9}{8 t^{\frac{7}{4}}}$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$h'' (t) = \frac{9}{8 t^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 6 t^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $t$ es $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Paso 4.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Paso 4.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Paso 4.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Paso 4.1.3.6.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Paso 4.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Paso 4.1.3.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 4.1.3.9

Combina $- 6$ y $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6 t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Paso 4.1.3.10

Mueve $t^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.3.11

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.12.1

Factoriza $2$ de $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Paso 4.1.3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Paso 4.1.3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (t) = \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $h (t)$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$

Paso 5.2.2

Como $4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $4, 2, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $t^{\frac{1}{4}}, t^{\frac{3}{4}}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 5.2.5

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 5.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.7

El MCM de $4, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2$

Paso 5.2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 5.2.9

El MCM de $t^{\frac{1}{4}}, t^{\frac{3}{4}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$t^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.2.10

El MCM para $4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$ es la parte numérica $4$ multiplicada por la parte variable.

$4 t^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ por $4 t^{\frac{3}{4}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ por $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.3

Cancela el factor común de $t^{\frac{1}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.3.1

Factoriza $t^{\frac{1}{4}}$ de $t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} (t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{2}{4}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} (t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{2}{4}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$3 t^{\frac{2}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.3.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3 t^{\frac{2 (1)}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$3 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$3 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.5

Cancela el factor común de $2 t^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 5.3.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ al numerador.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.5.2

Factoriza $2 t^{\frac{3}{4}}$ de $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (2 t^{\frac{3}{4}} (2)) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (2 t^{\frac{3}{4}} \cdot 2) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 2 = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0 (4 t^{\frac{3}{4}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 t^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $t^{\frac{3}{4}}$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$3 t^{\frac{1}{2}} = 6$

Paso 5.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(3 t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 5.4.3

Simplifica el exponente.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.1.1

Simplifica ${(3 t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$9 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 5.4.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.4.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 5.4.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$9 t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 5.4.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$9 t^{1} = 6^{2}$

Paso 5.4.3.1.1.4

Simplifica.

$9 t = 6^{2}$

Paso 5.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$9 t = 36$

Paso 5.4.4

Divide cada término en $9 t = 36$ por $9$ y simplifica.

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Paso 5.4.4.1

Divide cada término en $9 t = 36$ por $9$ .

$\frac{9 t}{9} = \frac{36}{9}$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.4.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 t}{9} = \frac{36}{9}$

Paso 5.4.4.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{36}{9}$

Paso 5.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.3.1

Divide $36$ por $9$ .

$t = 4$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{t^{1}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{t^{1}}} - \frac{3}{2 \sqrt[4]{t^{3}}}$

Paso 6.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{t}} - \frac{3}{2 \sqrt[4]{t^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{3}{4 \sqrt[4]{t}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4 \sqrt[4]{t} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $t$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${(4 \sqrt[4]{t})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{t}$ como $t^{\frac{1}{4}}$ .

${(4 t^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(4 t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $4 t^{\frac{1}{4}}$ .

$4^{4} {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$256 {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$256 t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$256 t^{1} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.4

Simplifica.

$256 t = 0^{4}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$256 t = 0$

Paso 6.3.3

Divide cada término en $256 t = 0$ por $256$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.1

Divide cada término en $256 t = 0$ por $256$ .

$\frac{256 t}{256} = \frac{0}{256}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1

Cancela el factor común de $256$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{256 t}{256} = \frac{0}{256}$

Paso 6.3.3.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{256}$

Paso 6.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.3.3.1

Divide $0$ por $256$ .

$t = 0$

Paso 6.4

Establece el denominador en $\frac{3}{2 \sqrt[4]{t^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt[4]{t^{3}} = 0$

Paso 6.5

Resuelve $t$

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Paso 6.5.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt[4]{t^{3}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.5.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{t^{3}}$ como $t^{\frac{3}{4}}$ .

${(2 t^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1

Simplifica ${(2 t^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 t^{\frac{3}{4}}$ .

$2^{4} {(t^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 {(t^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.5.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 t^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.5.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.5.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 t^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.5.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 t^{3} = 0^{4}$

Paso 6.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$16 t^{3} = 0$

Paso 6.5.3

Resuelve $t$

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Paso 6.5.3.1

Divide cada término en $16 t^{3} = 0$ por $16$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.3.1.1

Divide cada término en $16 t^{3} = 0$ por $16$ .

$\frac{16 t^{3}}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 6.5.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.3.1.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 6.5.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 t^{3}}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 6.5.3.1.2.1.2

Divide $t^{3}$ por $1$ .

$t^{3} = \frac{0}{16}$

Paso 6.5.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.3.1.3.1

Divide $0$ por $16$ .

$t^{3} = 0$

Paso 6.5.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.3.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.5.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$t = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$t = 0$

Paso 6.6

Establece el radicando en $\sqrt[4]{t}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$t < 0$

Paso 6.7

Establece el radicando en $\sqrt[4]{t^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$t^{3} < 0$

Paso 6.8

Resuelve $t$

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Paso 6.8.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{t^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.8.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.8.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$t < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.8.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.8.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$t < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.8.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$t < 0$

Paso 6.9

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$t = 4, 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $t = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{9}{8 {(4)}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot 4^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{7}{4}}$ .

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Paso 9.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{2 (\frac{7}{4})}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{2 \frac{7}{2 (2)}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{2 \frac{7}{2 \cdot 2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{\frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9}{2^{3 + \frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.5

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.6

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2^{\frac{3 \cdot 2 + 7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1.8.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{9}{2^{\frac{6 + 7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.1.8.2

Suma $6$ y $7$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.2.1

Reescribe $16$ como $2^{4}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 4^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 9.1.2.3

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{5}{4}}$ .

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Paso 9.1.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{2 (\frac{5}{4})}}$

Paso 9.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{2 \frac{5}{2 (2)}}}$

Paso 9.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{2 \frac{5}{2 \cdot 2}}}$

Paso 9.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4 + \frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.2.5

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.2.6

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Paso 9.1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{4 \cdot 2 + 5}{2}}}$

Paso 9.1.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.2.8.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{8 + 5}{2}}}$

Paso 9.1.2.8.2

Suma $8$ y $5$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{13}{2}}}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 - 3}{2^{\frac{13}{2}}}$

Paso 9.2.2

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{6}{2^{\frac{13}{2}}}$

Paso 10

$t = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$t = 4$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $t = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $t$ con $4$ en la expresión.

$h (4) = {(4)}^{\frac{3}{4}} - 6 {(4)}^{\frac{1}{4}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Elimina los paréntesis.

$h (4) = 4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $t = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{9}{8 {(0)}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$\frac{9}{8 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{8 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{8 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{8 \cdot 0^{7}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.3

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{9}{8 \cdot 0} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.3.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{9}{0} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{9}{0} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Paso 13.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 14

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 15