Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Paso 1.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 \sin (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Paso 2.3

Resta $4 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$1 - 2 \sin (2 x) = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (2 x) = - 1$

Paso 5

Divide cada término en $- 2 \sin (2 x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- 2 \sin (2 x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Paso 8

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 8.3.2

Multiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Paso 9

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Paso 10

Resuelve $x$

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 10.1.2

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 10.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 10.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 6$ .

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Paso 10.1.4.1

Reordena $π$ y $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 10.1.4.2

Resta $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Paso 10.2

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.2.3.2.1

Multiplica $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Paso 10.2.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Paso 11

La solución a la ecuación $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{12}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Paso 13.1.2

Cancela el factor común.

$- 4 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Paso 13.1.3

Reescribe la expresión.

$- 4 \cos (\frac{π}{6})$

Paso 13.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.3.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13.3.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{3}$

Paso 14

$x = \frac{π}{12}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{12}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{12}$ .

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Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{12}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{12}) = (\frac{π}{12}) + \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

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Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}))$

Paso 15.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}))$

Paso 15.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \cos (\frac{π}{6})$

Paso 15.2.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 15.2.2

La respuesta final es $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{12}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 17.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Paso 17.1.2

Cancela el factor común.

$- 4 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Paso 17.1.3

Reescribe la expresión.

$- 4 \cos (\frac{5 π}{6})$

Paso 17.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- 4 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Paso 17.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 17.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 17.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.4.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Paso 17.4.4

Reescribe la expresión.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Paso 17.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Paso 18

$x = \frac{5 π}{12}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{12}$ es un mínimo local

Paso 19

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{12}$ .

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Paso 19.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{12}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{12}) = (\frac{5 π}{12}) + \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Paso 19.2

Simplifica el resultado.

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Paso 19.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}))$

Paso 19.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}))$

Paso 19.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} + \cos (\frac{5 π}{6})$

Paso 19.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \cos (\frac{π}{6})$

Paso 19.2.1.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 19.2.2

La respuesta final es $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 20

Estos son los extremos locales de $f (x) = x + \cos (2 x)$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ es un máximo local

$(\frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ es un mínimo local

Paso 21