Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - \ln (x)$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Paso 1.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 1.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{1}{4 - \ln (x)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

Paso 1.5.2

Factoriza $x$ de $4 x - \ln (x) x$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $x$ de $- \ln (x) x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ .

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ como ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x (4 - \ln (x))$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4

Multiplica.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4.2

Multiplica ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6

Diferencia.

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Paso 2.6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.6.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8

Diferencia.

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Paso 2.8.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.4.1

Multiplica $4 - \ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.4.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.8.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

Paso 2.8.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.6.1

Multiplica $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ por $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

Paso 2.8.6.2

Suma ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ y $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

Paso 2.9

Simplifica.

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Paso 2.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Paso 2.9.2

Aplica la regla del producto a $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Paso 2.9.3

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

Paso 2.9.4

Multiplica $3 - \ln (x)$ por $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6