Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 1.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 1.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 1.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 1.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.3.8

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Paso 1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Combina los términos.

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Paso 1.6.1.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Paso 1.6.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.8

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{4}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{6}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} - 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 4$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 3} + 24 x^{- 5} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 x^{- 5} + 0$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

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Paso 2.5.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Paso 2.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + 24 (\frac{1}{x^{5}}) + 0$

Paso 2.5.3.3

Combina $24$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}} + 0$

Paso 2.5.3.4

Suma $- \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}} + \frac{24}{x^{5}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{3}})$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{3}}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 4.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 4.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 4.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 4.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 4.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 4.1.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 4.1.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 4.1.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 4.1.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 4.1.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} + 2 (- 3 x^{- 4})$

Paso 4.1.3.8

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (x) = 1 + x^{- 2} - 6 x^{- 4}$

Paso 4.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 x^{- 4}$

Paso 4.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Paso 4.1.6.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}}$

Paso 4.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, x^{4}, 1, 1$

Paso 5.2.2

Since $x^{2}, x^{4}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{4}$ .

Paso 5.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.2.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 5.2.6

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 5.2.7

Los factores para $x^{4}$ son $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $4$ veces.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $4$ veces.

Paso 5.2.8

El MCM de $x^{2}, x^{4}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Paso 5.2.9

Simplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Paso 5.2.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.9.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Paso 5.2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Paso 5.2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Paso 5.2.9.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.3.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.9.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Paso 5.2.9.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1}$

Paso 5.2.9.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ por $x^{4}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{4}} + 1 = 0$ por $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{4} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} x^{2}) - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - \frac{6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{x^{4}}$ al numerador.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{- 6}{x^{4}} x^{4} + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 6 + 1 x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.2.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0 x^{4}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{4}$ .

$x^{2} - 6 + x^{4} = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + u - 6 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 5.4.2

Factoriza $u^{2} + u - 6$ con el método AC.

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Paso 5.4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 5.4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Paso 5.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 3 = 0$

Paso 5.4.4

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.4.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 5.4.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 5.4.5

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.5.1

Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Paso 5.4.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

Paso 5.4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 2) (u + 3) = 0$ verdadera.

$u = 2, - 3$

Paso 5.4.7

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 2$

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Paso 5.4.8

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 2$

Paso 5.4.9

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 5.4.9.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.9.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 5.4.9.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 5.4.9.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 5.4.10

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 3$

Paso 5.4.11

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.4.11.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 3$

Paso 5.4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 5.4.11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 5.4.11.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 5.4.11.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 5.4.11.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 5.4.11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 5.4.11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 5.4.11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 5.4.12

La solución a $x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ es $x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3

Establece el denominador en $\frac{6}{x^{4}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{4} = 0$

Paso 6.4

Resuelve $x$

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Paso 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Paso 6.4.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Paso 6.4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Paso 6.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.4.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2}{\sqrt{8}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.1.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.1.1.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{2}{\sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.4.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(\sqrt{2})}^{5}}$

Paso 9.1.5

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{2^{5}}}$

Paso 9.1.5.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{32}}$

Paso 9.1.5.3

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.5.3.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{16 (2)}}$

Paso 9.1.5.3.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Paso 9.1.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{4 \sqrt{2}}$

Paso 9.1.6

Cancela el factor común de $24$ y $4$ .

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Paso 9.1.6.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Paso 9.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.6.2.1

Factoriza $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (\sqrt{2})}$

Paso 9.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 \sqrt{2}}$

Paso 9.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}}$

Paso 9.1.7

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 9.1.8

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 9.1.8.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 9.1.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 9.1.8.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 9.1.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 9.1.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 9.1.8.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.1.8.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.1.8.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.1.8.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.8.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.1.8.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 9.1.8.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.1.9

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 9.1.9.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 9.1.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 9.1.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Paso 9.1.9.2.4

Divide $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2}$

Paso 9.2

Para escribir $3 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 9.3

Combina fracciones.

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Paso 9.3.1

Combina $3 \sqrt{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Paso 9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Paso 9.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.4.2

Suma $- \sqrt{2}$ y $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 10

$x = \sqrt{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(\sqrt{2})}^{3}}$

Paso 11.2.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{3}}}$

Paso 11.2.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{8}}$

Paso 11.2.1.3.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 11.2.1.3.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.1.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{2 \sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.6

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 11.2.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 11.2.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 11.2.1.6.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.2.1.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.2.1.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.1.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.2.1.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 11.2.1.6.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 11.2.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Paso 11.2.2.2

Suma $- \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Paso 11.2.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 0$

Paso 11.2.2.3.2

Suma $\sqrt{2}$ y $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \sqrt{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{8}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2}{- 1 \cdot 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.2

Cancela el factor común de $2$ y $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.3

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.5.6.5

Evalúa el exponente.

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.6

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- \sqrt{2})}^{5}}$

Paso 13.1.7

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{{(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}}$

Paso 13.1.7.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- {\sqrt{2}}^{5}}$

Paso 13.1.7.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{5}$ como $\sqrt{2^{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{2^{5}}}$

Paso 13.1.7.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{32}}$

Paso 13.1.7.5

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.5.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{16 (2)}}$

Paso 13.1.7.5.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- \sqrt{4^{2} \cdot 2}}$

Paso 13.1.7.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 1 \cdot 4 \sqrt{2}}$

Paso 13.1.7.7

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{24}{- 4 \sqrt{2}}$

Paso 13.1.8

Cancela el factor común de $24$ y $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{- 4 \sqrt{2}}$

Paso 13.1.8.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.2.1

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 (6)}{4 (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4 \cdot 6}{4 (- \sqrt{2})}$

Paso 13.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{6}{- \sqrt{2}}$

Paso 13.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6}{\sqrt{2}}$

Paso 13.1.10

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 13.1.11

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.11.1

Multiplica $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 13.1.11.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 13.1.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 13.1.11.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 13.1.11.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 13.1.11.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.11.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 13.1.11.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 13.1.11.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.1.11.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.11.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 13.1.11.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 13.1.11.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 13.1.12

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.12.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Paso 13.1.12.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 13.1.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 13.1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Paso 13.1.12.2.4

Divide $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - (3 \sqrt{2})$

Paso 13.1.13

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2}$

Paso 13.2

Para escribir $- 3 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 13.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Combina $- 3 \sqrt{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Paso 13.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \cdot 2}{2}$

Paso 13.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{2}$

Paso 13.4.2

Resta $6 \sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Paso 14

$x = - \sqrt{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \sqrt{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) - \frac{1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.3.6.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 15.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- \sqrt{2})}^{3}}$

Paso 15.2.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}$

Paso 15.2.1.5.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- {\sqrt{2}}^{3}}$

Paso 15.2.1.5.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{3}}}$

Paso 15.2.1.5.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{8}}$

Paso 15.2.1.5.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.5.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{4 (2)}}$

Paso 15.2.1.5.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 15.2.1.5.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}$

Paso 15.2.1.5.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2}{- 2 \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ y $- 2$ .

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Paso 15.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{- 2 \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 (1)}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 15.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 (- \sqrt{2})}$

Paso 15.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{- \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.7

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 15.2.1.7.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.8

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Paso 15.2.1.9

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1.9.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.9.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.9.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 15.2.1.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 15.2.1.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 15.2.1.9.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.2.1.9.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 15.2.1.9.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 15.2.1.9.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.2.1.9.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.1.9.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 15.2.1.9.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 15.2.1.9.6.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 15.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 15.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Paso 15.2.2.2

Resta $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + \frac{0}{2}$

Paso 15.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} + 0$

Paso 15.2.2.3.2

Suma $- \sqrt{2}$ y $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2}$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{3}}$ .

$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ es un mínimo local

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ es un máximo local

Paso 17