Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 1.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 1.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Paso 1.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 1.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.2.10

Multiplica $- 2$ por $32$ .

$1 - 64 x^{- 3}$

Paso 1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combina los términos.

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Paso 1.4.1.1

Combina $- 64$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Paso 1.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{64}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.2.8

Multiplica $- 3$ por $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $192$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Paso 2.4.2.2

Suma $\frac{192}{x^{4}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Paso 4.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 4.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 4.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Paso 4.1.2.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Paso 4.1.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Paso 4.1.2.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Paso 4.1.2.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Paso 4.1.2.9

Resta $4$ de $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $- 2$ por $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.1.1

Combina $- 64$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Paso 4.1.4.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Paso 4.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ por $x^{3}$ .

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{64}{x^{3}}$ al numerador.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 64 = - x^{3}$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- x^{3} = - 64$ .

$- x^{3} = - 64$

Paso 5.5.2

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{3} + 64 = 0$

Paso 5.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.5.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} + 64$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe $64$ como $- 1 (- 64)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Paso 5.5.3.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ .

$- (x^{3} - 64) = 0$

Paso 5.5.3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Paso 5.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 5.5.3.4

Factoriza.

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Paso 5.5.3.4.1

Simplifica.

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Paso 5.5.3.4.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Paso 5.5.3.4.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Paso 5.5.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Paso 5.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 5.5.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.5.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.5.6

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.6.1

Establece $x^{2} + 4 x + 16$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Paso 5.5.6.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3

Simplifica.

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Paso 5.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 5.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.6.2.3.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 5.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.6.2.4.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.6.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 5.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.3

Resta $64$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 48$ como $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (48)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.7

Reescribe $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.5.6.2.5.1.7.1

Factoriza $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5.5.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 5.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 5.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{64}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$\frac{192}{256}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $192$ y $256$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $64$ de $192$ .

$\frac{64 (3)}{256}$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $64$ de $256$ .

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{4}$

Paso 10

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

Paso 11.2.1.2

Divide $32$ por $16$ .

$f (4) = 4 + 2$

Paso 11.2.2

Suma $4$ y $2$ .

$f (4) = 6$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $6$ .

$y = 6$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ .

$(4, 6)$ es un mínimo local

Paso 13