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Cálculo Ejemplos
Paso 1
Paso 1.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.7
Suma y .
Paso 1.8
La derivada de con respecto a es .
Paso 1.9
Eleva a la potencia de .
Paso 1.10
Eleva a la potencia de .
Paso 1.11
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.12
Suma y .
Paso 1.13
Simplifica.
Paso 1.13.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.13.2
Multiplica por .
Paso 1.13.3
Reescribe como .
Paso 1.13.4
Reescribe como .
Paso 1.13.5
Reordena y .
Paso 1.13.6
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 1.13.7
Multiplica por .
Paso 1.13.8
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Paso 1.13.8.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.13.8.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.13.8.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.13.9
Combina los términos opuestos en .
Paso 1.13.9.1
Reordena los factores en los términos y .
Paso 1.13.9.2
Suma y .
Paso 1.13.9.3
Suma y .
Paso 1.13.10
Simplifica cada término.
Paso 1.13.10.1
Multiplica .
Paso 1.13.10.1.1
Multiplica por .
Paso 1.13.10.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.13.10.1.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.13.10.1.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.13.10.1.5
Suma y .
Paso 1.13.10.2
Multiplica .
Paso 1.13.10.2.1
Multiplica por .
Paso 1.13.10.2.2
Eleva a la potencia de .
Paso 1.13.10.2.3
Eleva a la potencia de .
Paso 1.13.10.2.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.13.10.2.5
Suma y .
Paso 2
Paso 2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2
Evalúa .
Paso 2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Paso 2.2.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.2.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.2.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.2.4
Multiplica por .
Paso 2.2.5
Multiplica por .
Paso 2.3
Evalúa .
Paso 2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Paso 2.3.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 2.3.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 2.3.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 2.3.3
La derivada de con respecto a es .
Paso 2.3.4
Multiplica por .
Paso 2.4
Combina los términos.
Paso 2.4.1
Reordena los factores de .
Paso 2.4.2
Resta de .
Paso 3
Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a y resuelve.
Paso 4
Paso 4.1
Factoriza de .
Paso 4.1.1
Factoriza de .
Paso 4.1.2
Factoriza de .
Paso 4.1.3
Factoriza de .
Paso 4.2
Factoriza.
Paso 4.2.1
Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, , donde y .
Paso 4.2.2
Elimina los paréntesis innecesarios.
Paso 5
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 6
Paso 6.1
Establece igual a .
Paso 6.2
Resuelve en .
Paso 6.2.1
Divide cada término en la ecuación por .
Paso 6.2.2
Cancela el factor común de .
Paso 6.2.2.1
Cancela el factor común.
Paso 6.2.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 6.2.3
Convierte de a .
Paso 6.2.4
Separa las fracciones.
Paso 6.2.5
Convierte de a .
Paso 6.2.6
Divide por .
Paso 6.2.7
Multiplica por .
Paso 6.2.8
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 6.2.9
Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de la tangente.
Paso 6.2.10
Simplifica el lado derecho.
Paso 6.2.10.1
El valor exacto de es .
Paso 6.2.11
La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de para obtener la solución en el tercer cuadrante.
Paso 6.2.12
Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.
Paso 6.2.12.1
Suma a .
Paso 6.2.12.2
El ángulo resultante de es positivo y coterminal con .
Paso 6.2.13
La solución a la ecuación .
Paso 7
Paso 7.1
Establece igual a .
Paso 7.2
Resuelve en .
Paso 7.2.1
Divide cada término en la ecuación por .
Paso 7.2.2
Cancela el factor común de .
Paso 7.2.2.1
Cancela el factor común.
Paso 7.2.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 7.2.3
Separa las fracciones.
Paso 7.2.4
Convierte de a .
Paso 7.2.5
Divide por .
Paso 7.2.6
Separa las fracciones.
Paso 7.2.7
Convierte de a .
Paso 7.2.8
Divide por .
Paso 7.2.9
Multiplica por .
Paso 7.2.10
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 7.2.11
Divide cada término en por y simplifica.
Paso 7.2.11.1
Divide cada término en por .
Paso 7.2.11.2
Simplifica el lado izquierdo.
Paso 7.2.11.2.1
La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.
Paso 7.2.11.2.2
Divide por .
Paso 7.2.11.3
Simplifica el lado derecho.
Paso 7.2.11.3.1
Divide por .
Paso 7.2.12
Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer del interior de la tangente.
Paso 7.2.13
Simplifica el lado derecho.
Paso 7.2.13.1
El valor exacto de es .
Paso 7.2.14
La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de para obtener la solución en el cuarto cuadrante.
Paso 7.2.15
Simplifica .
Paso 7.2.15.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 7.2.15.2
Combina fracciones.
Paso 7.2.15.2.1
Combina y .
Paso 7.2.15.2.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 7.2.15.3
Simplifica el numerador.
Paso 7.2.15.3.1
Mueve a la izquierda de .
Paso 7.2.15.3.2
Suma y .
Paso 7.2.16
La solución a la ecuación .
Paso 8
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 9
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 10
Paso 10.1
Suma las rotaciones completas de hasta que el ángulo sea mayor o igual que y menor que .
Paso 10.2
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.
Paso 10.3
El valor exacto de es .
Paso 10.4
Cancela el factor común de .
Paso 10.4.1
Factoriza de .
Paso 10.4.2
Cancela el factor común.
Paso 10.4.3
Reescribe la expresión.
Paso 10.5
Suma las rotaciones completas de hasta que el ángulo sea mayor o igual que y menor que .
Paso 10.6
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
Paso 10.7
El valor exacto de es .
Paso 10.8
Cancela el factor común de .
Paso 10.8.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 10.8.2
Factoriza de .
Paso 10.8.3
Cancela el factor común.
Paso 10.8.4
Reescribe la expresión.
Paso 10.9
Multiplica por .
Paso 10.10
Eleva a la potencia de .
Paso 10.11
Eleva a la potencia de .
Paso 10.12
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 10.13
Suma y .
Paso 10.14
Reescribe como .
Paso 10.14.1
Usa para reescribir como .
Paso 10.14.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 10.14.3
Combina y .
Paso 10.14.4
Cancela el factor común de .
Paso 10.14.4.1
Cancela el factor común.
Paso 10.14.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 10.14.5
Evalúa el exponente.
Paso 10.15
Multiplica por .
Paso 11
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 12
Paso 12.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 12.2
Simplifica el resultado.
Paso 12.2.1
Suma las rotaciones completas de hasta que el ángulo sea mayor o igual que y menor que .
Paso 12.2.2
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.
Paso 12.2.3
El valor exacto de es .
Paso 12.2.4
Multiplica .
Paso 12.2.4.1
Multiplica por .
Paso 12.2.4.2
Combina y .
Paso 12.2.5
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 12.2.6
Suma las rotaciones completas de hasta que el ángulo sea mayor o igual que y menor que .
Paso 12.2.7
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.
Paso 12.2.8
El valor exacto de es .
Paso 12.2.9
Multiplica .
Paso 12.2.9.1
Multiplica por .
Paso 12.2.9.2
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.9.3
Eleva a la potencia de .
Paso 12.2.9.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 12.2.9.5
Suma y .
Paso 12.2.9.6
Multiplica por .
Paso 12.2.10
Reescribe como .
Paso 12.2.10.1
Usa para reescribir como .
Paso 12.2.10.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 12.2.10.3
Combina y .
Paso 12.2.10.4
Cancela el factor común de .
Paso 12.2.10.4.1
Cancela el factor común.
Paso 12.2.10.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 12.2.10.5
Evalúa el exponente.
Paso 12.2.11
Multiplica por .
Paso 12.2.12
Cancela el factor común de y .
Paso 12.2.12.1
Factoriza de .
Paso 12.2.12.2
Cancela los factores comunes.
Paso 12.2.12.2.1
Factoriza de .
Paso 12.2.12.2.2
Cancela el factor común.
Paso 12.2.12.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 12.2.13
La respuesta final es .
Paso 13
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 14
Paso 14.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 14.2
El valor exacto de es .
Paso 14.3
Cancela el factor común de .
Paso 14.3.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 14.3.2
Factoriza de .
Paso 14.3.3
Cancela el factor común.
Paso 14.3.4
Reescribe la expresión.
Paso 14.4
Multiplica por .
Paso 14.5
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.
Paso 14.6
El valor exacto de es .
Paso 14.7
Cancela el factor común de .
Paso 14.7.1
Factoriza de .
Paso 14.7.2
Cancela el factor común.
Paso 14.7.3
Reescribe la expresión.
Paso 14.8
Eleva a la potencia de .
Paso 14.9
Eleva a la potencia de .
Paso 14.10
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 14.11
Suma y .
Paso 14.12
Reescribe como .
Paso 14.12.1
Usa para reescribir como .
Paso 14.12.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 14.12.3
Combina y .
Paso 14.12.4
Cancela el factor común de .
Paso 14.12.4.1
Cancela el factor común.
Paso 14.12.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 14.12.5
Evalúa el exponente.
Paso 14.13
Multiplica por .
Paso 15
es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.
es un mínimo local
Paso 16
Paso 16.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 16.2
Simplifica el resultado.
Paso 16.2.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.
Paso 16.2.2
El valor exacto de es .
Paso 16.2.3
Combina y .
Paso 16.2.4
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.
Paso 16.2.5
El valor exacto de es .
Paso 16.2.6
Multiplica .
Paso 16.2.6.1
Multiplica por .
Paso 16.2.6.2
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.6.3
Eleva a la potencia de .
Paso 16.2.6.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 16.2.6.5
Suma y .
Paso 16.2.6.6
Multiplica por .
Paso 16.2.7
Reescribe como .
Paso 16.2.7.1
Usa para reescribir como .
Paso 16.2.7.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 16.2.7.3
Combina y .
Paso 16.2.7.4
Cancela el factor común de .
Paso 16.2.7.4.1
Cancela el factor común.
Paso 16.2.7.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 16.2.7.5
Evalúa el exponente.
Paso 16.2.8
Multiplica por .
Paso 16.2.9
Cancela el factor común de y .
Paso 16.2.9.1
Factoriza de .
Paso 16.2.9.2
Cancela los factores comunes.
Paso 16.2.9.2.1
Factoriza de .
Paso 16.2.9.2.2
Cancela el factor común.
Paso 16.2.9.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 16.2.10
La respuesta final es .
Paso 17
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 18
Paso 18.1
El valor exacto de es .
Paso 18.2
Cancela el factor común de .
Paso 18.2.1
Factoriza de .
Paso 18.2.2
Cancela el factor común.
Paso 18.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 18.3
El valor exacto de es .
Paso 18.4
Cancela el factor común de .
Paso 18.4.1
Factoriza de .
Paso 18.4.2
Cancela el factor común.
Paso 18.4.3
Reescribe la expresión.
Paso 18.5
Eleva a la potencia de .
Paso 18.6
Eleva a la potencia de .
Paso 18.7
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 18.8
Suma y .
Paso 18.9
Reescribe como .
Paso 18.9.1
Usa para reescribir como .
Paso 18.9.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 18.9.3
Combina y .
Paso 18.9.4
Cancela el factor común de .
Paso 18.9.4.1
Cancela el factor común.
Paso 18.9.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 18.9.5
Evalúa el exponente.
Paso 18.10
Multiplica por .
Paso 19
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 20
Paso 20.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 20.2
Simplifica el resultado.
Paso 20.2.1
El valor exacto de es .
Paso 20.2.2
Combina y .
Paso 20.2.3
El valor exacto de es .
Paso 20.2.4
Multiplica .
Paso 20.2.4.1
Multiplica por .
Paso 20.2.4.2
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.4.3
Eleva a la potencia de .
Paso 20.2.4.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 20.2.4.5
Suma y .
Paso 20.2.4.6
Multiplica por .
Paso 20.2.5
Reescribe como .
Paso 20.2.5.1
Usa para reescribir como .
Paso 20.2.5.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 20.2.5.3
Combina y .
Paso 20.2.5.4
Cancela el factor común de .
Paso 20.2.5.4.1
Cancela el factor común.
Paso 20.2.5.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 20.2.5.5
Evalúa el exponente.
Paso 20.2.6
Multiplica por .
Paso 20.2.7
Cancela el factor común de y .
Paso 20.2.7.1
Factoriza de .
Paso 20.2.7.2
Cancela los factores comunes.
Paso 20.2.7.2.1
Factoriza de .
Paso 20.2.7.2.2
Cancela el factor común.
Paso 20.2.7.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 20.2.8
La respuesta final es .
Paso 21
Evalúa la segunda derivada en . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.
Paso 22
Paso 22.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.
Paso 22.2
El valor exacto de es .
Paso 22.3
Cancela el factor común de .
Paso 22.3.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 22.3.2
Factoriza de .
Paso 22.3.3
Cancela el factor común.
Paso 22.3.4
Reescribe la expresión.
Paso 22.4
Multiplica por .
Paso 22.5
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.
Paso 22.6
El valor exacto de es .
Paso 22.7
Cancela el factor común de .
Paso 22.7.1
Mueve el signo menos inicial en al numerador.
Paso 22.7.2
Factoriza de .
Paso 22.7.3
Cancela el factor común.
Paso 22.7.4
Reescribe la expresión.
Paso 22.8
Multiplica por .
Paso 22.9
Eleva a la potencia de .
Paso 22.10
Eleva a la potencia de .
Paso 22.11
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 22.12
Suma y .
Paso 22.13
Reescribe como .
Paso 22.13.1
Usa para reescribir como .
Paso 22.13.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 22.13.3
Combina y .
Paso 22.13.4
Cancela el factor común de .
Paso 22.13.4.1
Cancela el factor común.
Paso 22.13.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 22.13.5
Evalúa el exponente.
Paso 22.14
Multiplica por .
Paso 23
es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada
es un máximo local
Paso 24
Paso 24.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 24.2
Simplifica el resultado.
Paso 24.2.1
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.
Paso 24.2.2
El valor exacto de es .
Paso 24.2.3
Multiplica .
Paso 24.2.3.1
Multiplica por .
Paso 24.2.3.2
Combina y .
Paso 24.2.4
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 24.2.5
Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el tercer cuadrante.
Paso 24.2.6
El valor exacto de es .
Paso 24.2.7
Multiplica .
Paso 24.2.7.1
Multiplica por .
Paso 24.2.7.2
Multiplica por .
Paso 24.2.7.3
Multiplica por .
Paso 24.2.7.4
Eleva a la potencia de .
Paso 24.2.7.5
Eleva a la potencia de .
Paso 24.2.7.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 24.2.7.7
Suma y .
Paso 24.2.7.8
Multiplica por .
Paso 24.2.8
Reescribe como .
Paso 24.2.8.1
Usa para reescribir como .
Paso 24.2.8.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 24.2.8.3
Combina y .
Paso 24.2.8.4
Cancela el factor común de .
Paso 24.2.8.4.1
Cancela el factor común.
Paso 24.2.8.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 24.2.8.5
Evalúa el exponente.
Paso 24.2.9
Multiplica por .
Paso 24.2.10
Cancela el factor común de y .
Paso 24.2.10.1
Factoriza de .
Paso 24.2.10.2
Cancela los factores comunes.
Paso 24.2.10.2.1
Factoriza de .
Paso 24.2.10.2.2
Cancela el factor común.
Paso 24.2.10.2.3
Reescribe la expresión.
Paso 24.2.11
La respuesta final es .
Paso 25
Estos son los extremos locales de .
es un mínimo local
es un mínimo local
es un máximo local
es un máximo local
Paso 26