Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - \frac{1}{x}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Paso 2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Paso 2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Paso 3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4

Reordena los términos.

$\frac{1}{x^{2}} + 1$