Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{2 x + 1}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x + 1}$ como ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3

Mueve ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.2

Combina $\frac{x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ y $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 14.5

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 16

Multiplica ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 17

Para escribir ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19

Multiplica ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 19.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 19.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(2 x + 1)}^{1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 20

Simplifica ${(2 x + 1)}^{1}$ .

$\frac{x + 2 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 21

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$