Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(3 x - 9)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(3 x - 9)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 9)}^{3}] + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 3 x - 9$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 9$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 9$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 9]) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$x (3 {(3 x - 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3} \cdot 1$

Paso 3.8

Multiplica ${(3 x - 9)}^{3}$ por $1$ .

$x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza ${(3 x - 9)}^{2}$ de $x (9 {(3 x - 9)}^{2}) + {(3 x - 9)}^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza ${(3 x - 9)}^{2}$ de $x (9 {(3 x - 9)}^{2})$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{3}$

Paso 4.1.2

Factoriza ${(3 x - 9)}^{2}$ de ${(3 x - 9)}^{3}$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$

Paso 4.1.3

Factoriza ${(3 x - 9)}^{2}$ de ${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9)) + {(3 x - 9)}^{2} (3 x - 9)$ .

${(3 x - 9)}^{2} (x \cdot (9) + 3 x - 9)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (9 \cdot x + 3 x - 9)$

Paso 4.2.2

Suma $9 x$ y $3 x$ .

${(3 x - 9)}^{2} (12 x - 9)$