Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x - 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 5$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

Paso 3.8

Multiplica ${(2 x - 5)}^{3}$ por $1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza ${(2 x - 5)}^{2}$ de $x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza ${(2 x - 5)}^{2}$ de $x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

Paso 4.1.2

Factoriza ${(2 x - 5)}^{2}$ de ${(2 x - 5)}^{3}$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

Paso 4.1.3

Factoriza ${(2 x - 5)}^{2}$ de ${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

Paso 4.2

Combina los términos.

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Paso 4.2.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

Paso 4.2.2

Suma $6 x$ y $2 x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

Paso 4.3

Reescribe ${(2 x - 5)}^{2}$ como $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.4

Expande $(2 x - 5) (2 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Paso 4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.2.1

Mueve $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5.1.4

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5.1.5

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Paso 4.5.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

Paso 4.5.2

Resta $10 x$ de $- 10 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

Paso 4.6

Expande $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.2.1

Mueve $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.4

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.6.1

Mueve $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.7

Multiplica $- 20$ por $8$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.8

Multiplica $- 5$ por $- 20$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.9

Multiplica $8$ por $25$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

Paso 4.7.10

Multiplica $25$ por $- 5$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Paso 4.8

Resta $160 x^{2}$ de $- 20 x^{2}$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Paso 4.9

Suma $100 x$ y $200 x$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$