Cálculo Ejemplos

$f (x) = x {(x - 15)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(x - 15)}^{2}$ como $(x - 15) (x - 15)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((x - 15) (x - 15))]$

Paso 2

Expande $(x - 15) (x - 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 15) - 15 (x - 15))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 (x - 15))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 15 - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Paso 3.1.2

Mueve $- 15$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 15)]$

Paso 3.1.3

Multiplica $- 15$ por $- 15$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 15 x - 15 x + 225)]$

Paso 3.2

Resta $15 x$ de $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 30 x + 225)]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 30 x + 225$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 30 x + 225] + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 30 x + 225$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.3

Como $- 30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 30 x$ con respecto a $x$ es $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (2 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5

Multiplica $- 30$ por $1$ .

$x (2 x - 30 + \frac{d}{d x} [225]) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.6

Como $225$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $225$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (2 x - 30 + 0) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.7

Suma $2 x - 30$ y $0$ .

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 x - 30) + (x^{2} - 30 x + 225) \cdot 1$

Paso 5.9

Multiplica $x^{2} - 30 x + 225$ por $1$ .

$x (2 x - 30) + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 30 + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6.2.5

Mueve $- 30$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 30 \cdot x + x^{2} - 30 x + 225$

Paso 6.2.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 30 x - 30 x + 225$

Paso 6.2.7

Resta $30 x$ de $- 30 x$ .

$3 x^{2} - 60 x + 225$