Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \cos (x) - \sin (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cos (x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 2.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) - \cos (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.1

Resta $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$x (- \sin (x)) + 0$

Paso 4.1.2

Suma $x (- \sin (x))$ y $0$ .

$x (- \sin (x))$

Paso 4.2

Reordena los factores de $x (- \sin (x))$ .

$- x \sin (x)$