Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = \sin (z)$ y $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ es $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ donde $f (z) = z - 7$ y $g (z) = z + 7$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $z - 7$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.3

Como $- 7$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Multiplica $z + 7$ por $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $z + 7$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $7$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $7$ con respecto a $z$ es $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.8

Combina fracciones.

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Paso 3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 3.8.3

Combina $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ y $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Combina los términos opuestos en $z + 7 - z - - 7$ .

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Paso 4.2.1.1

Resta $z$ de $z$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.3

Suma $7$ y $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

Paso 4.2.4

Mueve $14$ a la izquierda de $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ .

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$