Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (\frac{π}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{π}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{π}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{π}{x}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{π}{x}$ con respecto a $x$ es $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π (- x^{- 2}))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (π (- \frac{1}{x^{2}}))$

Paso 3.2

Combina los términos.

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Paso 3.2.1

Combina $π$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\cos (\frac{π}{x}) (- \frac{π}{x^{2}})$

Paso 3.2.2

Combina $\cos (\frac{π}{x})$ y $\frac{π}{x^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) π}{x^{2}}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $- \frac{\cos (\frac{π}{x}) π}{x^{2}}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x})}{x^{2}}$