Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x + y) - x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x + y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.4

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 2.6

Multiplica $\cos (x + y)$ por $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Paso 3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\cos (x + y) - y$

Paso 4

Reordena los términos.

$- y + \cos (x + y)$