Cálculo Ejemplos

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 5

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1.1

Reordena $\cos (x)$ y $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.1.2

Reescribe $\cos (x) \tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.1.3

Cancela los factores comunes.

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.3

Multiplica $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 6.4.3.1

Combina $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.3.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.4

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.7

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Paso 6.4.8

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Paso 6.4.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Paso 6.4.10

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 6.4.10.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Paso 6.4.10.2

Cancela el factor común.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Paso 6.4.10.3

Reescribe la expresión.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Paso 6.4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.6

Reordena $- \sin^{2} (x)$ y $1$ .

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.8

Cancela el factor común de $\cos^{2} (x)$ y $\cos (x)$ .

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Paso 6.8.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.8.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.8.2.4

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6.9

Simplifica cada término.

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Paso 6.9.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 6.9.2

Separa las fracciones.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 6.9.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Paso 6.9.4

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$