Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (3 x^{2} + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (6 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$- \sin (3 x^{2} + 1) (6 x)$

Paso 2.6.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 \sin (3 x^{2} + 1) x$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $- 6 \sin (3 x^{2} + 1) x$ .

$- 6 x \sin (3 x^{2} + 1)$