Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (\tan (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

Paso 3.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (\tan (x))$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Paso 3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Paso 3.5

Combina $\sin (\tan (x))$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.6

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 3.7

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Paso 3.8

Reescribe $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ como un producto.

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Paso 3.9

Escribe $\sin (\tan (x))$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Divide $\sin (\tan (x))$ por $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Paso 3.10.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 3.11

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Paso 3.12

Multiplica $\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

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Paso 3.12.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec (x) \sin (\tan (x)))$

Paso 3.12.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sin (\tan (x)))$

Paso 3.12.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- ({\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Paso 3.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (\sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$