Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Paso 2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.8

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 4.2

Combina $9$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$