Cálculo Ejemplos

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{b}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x + a}{b}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{b}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + a$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Paso 2.5

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $b$ por $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Paso 3.3.2

Combina $b$ y $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $b$ y $b^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $b$ de $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Paso 3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.2.1

Factoriza $b$ de $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Paso 3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.4

Para escribir $b$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.6

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.7

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Paso 3.3.10

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Paso 3.3.11

Multiplica $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$