Cálculo Ejemplos

$f (x) = \cos (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - e^{2 x}$ y $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [- e^{2 x}] - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x} \cdot 1) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5.5

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 5.7

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 6.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ es $a^{u_{3}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $2 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 7

Diferencia.

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Paso 7.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 7.4

Combina fracciones.

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Paso 7.4.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}) \frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 7.4.2

Combina $\frac{(1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ y $\sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{2 x}) (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 (1 - e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- e^{2 x})) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{(1 (- 2 e^{2 x}) + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.4.1.1

Multiplica $- 2 e^{2 x}$ por $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + e^{2 x} (- 2 e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.3.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x + 2 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.3.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 \cdot 1 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x}) e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.5

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.1.5.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- (e^{2 x} e^{2 x}))) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{2 x + 2 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.5.3

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} - 2 (- e^{4 x})) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.2

Combina los términos opuestos en $- 2 e^{2 x} - 2 e^{4 x} - 2 e^{2 x} + 2 e^{4 x}$ .

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Paso 8.4.2.1

Suma $- 2 e^{4 x}$ y $2 e^{4 x}$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} + 0 - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.2.2

Suma $- 2 e^{2 x}$ y $0$ .

$- \frac{(- 2 e^{2 x} - 2 e^{2 x}) \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.3

Resta $2 e^{2 x}$ de $- 2 e^{2 x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1 - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.4.2

Reescribe $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.4.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = e^{x}$ .

$- \frac{- 4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.5

Combina los términos.

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Paso 8.5.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Paso 8.5.3

Multiplica $\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{4 e^{2 x} \sin (\frac{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}{1 + e^{2 x}})}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$