Cálculo Ejemplos

$f (x) = e \sqrt{x - 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $e$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $e \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$e \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$e (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 7.3

Mueve ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e (\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ y $e$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 11.2

Multiplica $\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{e}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$