Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (16 \sin^{2} (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 16 \sin^{2} (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $16 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [16 \sin^{2} (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{16 \sin^{2} (x)} (16 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Paso 2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1

Combina $16$ y $\frac{1}{16 \sin^{2} (x)}$ .

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{16 \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 5

Mueve $2$ a la izquierda de $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reordena los factores de $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Paso 7.2

Agrega paréntesis.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Paso 7.3

Reordena $2 \csc^{2} (x)$ y $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Paso 7.4

Agrega paréntesis.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Paso 7.5

Reordena $\cos (x)$ y $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Paso 7.6

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Paso 7.7

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Paso 7.8

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Paso 7.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.11

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.12

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.13

Cancela el factor común de $\sin (x)$ y $\sin^{2} (x)$ .

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Paso 7.13.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Paso 7.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.13.2.1

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 7.13.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 7.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 7.14

Separa las fracciones.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 7.15

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Paso 7.16

Divide $2$ por $1$ .

$2 \cot (x)$