Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (1 + e^{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x}$

Paso 4

Combina $\frac{1}{1 + e^{x}}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$