Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 2.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + 0)$

Paso 2.9

Suma $6 x - 2$ y $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$ .

$(6 x - 2) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 3.2

Multiplica $6 x - 2$ por $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 3.3

Factoriza $2$ de $6 x - 2$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 3.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (- 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Paso 3.3.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$