Cálculo Ejemplos

$g (x) = {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x^{2} - 1$ y $g (x) = 2 x + 5$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Mueve $6$ a la izquierda de $2 x + 5$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 \cdot (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.12

Combina fracciones.

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Paso 3.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 3.12.3

Combina $\frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$ y $3$ .

$\frac{(6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)) \cdot 3}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

Paso 3.12.4

Mueve $3$ a la izquierda de $6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{3 \cdot (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$\frac{3 (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 ((6 (2 x) + 6 \cdot 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (6 (2 x) x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6

Combina los términos.

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Paso 4.6.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{3 (12 x \cdot x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (12 (x^{1} x)) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 (12 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 (12 x^{1 + 1}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 (12 x^{2}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.6

Multiplica $12$ por $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.7

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{36 x^{2} + 3 (30 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.8

Multiplica $30$ por $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.9

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.10

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.12

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.13

Resta $18 x^{2}$ de $36 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.14

Multiplica $\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}}$ por $\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2} {(2 x + 5)}^{2}}$

Paso 4.6.15

Multiplica ${(2 x + 5)}^{2}$ por ${(2 x + 5)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.15.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2 + 2}}$

Paso 4.6.15.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.7

Reordena los términos.

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (18 x^{2} + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.8

Factoriza $6$ de $18 x^{2} + 90 x + 6$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $6$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.8.2

Factoriza $6$ de $90 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.8.3

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.8.4

Factoriza $6$ de $6 (3 x^{2}) + 6 (15 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.8.5

Factoriza $6$ de $6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1)$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x + 1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} \cdot 6 (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Paso 4.9

Mueve $6$ a la izquierda de ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{6 {(3 x^{2} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$