Cálculo Ejemplos

$G (x) = 9 x^{5} (x^{4} - 9)$

Paso 1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{5} (x^{4} - 9)$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x^{4} - 9$ .

$9 (x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} - 9] + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$9 (x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$9 (x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.3

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$9 (x^{5} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 3.4

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$9 (x^{5} (4 x^{3}) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 4

Multiplica $x^{5}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1

Mueve $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 (x^{3 + 5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 4.3

Suma $3$ y $5$ .

$9 (x^{8} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 5

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{8}$ .

$9 (4 \cdot x^{8} + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$9 (4 x^{8} + (x^{4} - 9) (5 x^{4}))$

Paso 7

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{4} - 9$ .

$9 (4 x^{8} + 5 \cdot (x^{4} - 9) x^{4})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{8} + (5 x^{4} + 5 \cdot - 9) x^{4})$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{8} + 5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 (4 x^{8}) + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.4

Combina los términos.

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Paso 8.4.1

Multiplica $4$ por $9$ .

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.4.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.4.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$36 x^{8} + 9 (5 (x^{4} x^{4})) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4 + 4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.4.2.3

Suma $4$ y $4$ .

$36 x^{8} + 9 (5 x^{8}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.4.3

Multiplica $5$ por $9$ .

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

Paso 8.4.4

Multiplica $5$ por $- 9$ .

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (- 45 x^{4})$

Paso 8.4.5

Multiplica $- 45$ por $9$ .

$36 x^{8} + 45 x^{8} - 405 x^{4}$

Paso 8.4.6

Suma $36 x^{8}$ y $45 x^{8}$ .

$81 x^{8} - 405 x^{4}$