Cálculo Ejemplos

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = 3 t + 4$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t + 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t + 4$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t + 4$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.5

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.6.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

Paso 3.8

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Factoriza $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

Paso 4.1.2

Factoriza $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

Paso 4.1.3

Factoriza $t {(3 t + 4)}^{2}$ de $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.2

Mueve $9$ a la izquierda de $t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.3

Reescribe ${(3 t + 4)}^{2}$ como $(3 t + 4) (3 t + 4)$ .

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.4

Expande $(3 t + 4) (3 t + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.1.2.1

Mueve $t$ .

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.1.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.1.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.1.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.5.2

Suma $12 t$ y $12 t$ .

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.7

Simplifica.

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Paso 4.7.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.7.3

Mueve $16$ a la izquierda de $t$ .

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.8.1.1

Mueve $t^{2}$ .

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.8.1.2

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 4.8.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.8.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.8.2

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.8.2.1

Mueve $t$ .

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.8.2.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Paso 4.9

Simplifica cada término.

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Paso 4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

Paso 4.9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

Paso 4.9.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

Paso 4.10

Suma $9 t$ y $6 t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

Paso 4.11

Expande $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12

Simplifica cada término.

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Paso 4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.2

Multiplica $t^{3}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.2.1

Mueve $t$ .

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.2.2

Multiplica $t$ por $t^{3}$ .

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Paso 4.12.2.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.3

Multiplica $9$ por $15$ .

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.4

Multiplica $8$ por $9$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.6

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.6.1

Mueve $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.6.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 4.12.6.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.7

Multiplica $24$ por $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.8

Multiplica $8$ por $24$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.10

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.12.10.1

Mueve $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.10.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.11

Multiplica $16$ por $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Paso 4.12.12

Multiplica $8$ por $16$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Paso 4.13

Suma $72 t^{3}$ y $360 t^{3}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Paso 4.14

Suma $192 t^{2}$ y $240 t^{2}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$