Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ .

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Paso 2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \sin (x^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (\cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 \cos (x^{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (3 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 3.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- 3 \sin (3 x))$

Paso 3.7

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$6 \cos (x^{2}) x + 6 \sin (3 x)$

Paso 4

Reordena los términos.

$6 x \cos (x^{2}) + 6 \sin (3 x)$