Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\ln (x)}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{\ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{\ln (x)})$ ; para ello, mueve $\ln (x)$ fuera del logaritmo.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Paso 3

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Paso 4

Eleva $\ln (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln^{2} (x)$ .

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

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Paso 8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 8.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 9

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Paso 10

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

Paso 11

Combina fracciones.

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Paso 11.1

Combina $\ln (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Paso 11.2

Combina $\frac{\ln (x)}{x}$ y $6$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

Paso 11.3

Combina $\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ y $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Paso 11.4

Mueve $6$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Paso 12

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1

Simplifica $6 \ln (x)$ al mover $6$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Paso 12.2

Reordena los factores en $\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$