Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.10

Combina $3$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 x + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ .

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.2

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 4.3

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Paso 4.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.6.2.2

Cancela el factor común.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 4.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.13

Combina $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $x^{- 1}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Paso 4.14

Multiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.14.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Paso 4.14.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Paso 4.14.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 4.14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Paso 4.14.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.14.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Paso 4.14.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Paso 4.14.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Paso 4.15

Mueve $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Paso 4.16

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.17

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.18

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.19

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.19.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Paso 4.19.2

Cancela el factor común.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.19.3

Reescribe la expresión.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{x^{\frac{3}{2}}}$

Paso 4.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$