Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x} \sin (x)$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Paso 1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 8.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 11

Combina $\sin (x)$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 5 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13.2

Combina $5$ y $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{5 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$