Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{2} \ln (8 x)$

Paso 1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2} \ln (8 x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (8 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (8 x)$ .

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 8 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 x$ .

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$8 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$8 (x^{2} (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{8 x}$ y $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$8 (\frac{x \cdot x}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$8 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$8 (\frac{x}{8} \frac{d}{d x} [8 x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (\frac{x}{8} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.1

Combina $8$ y $\frac{x}{8}$ .

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común.

$8 (\frac{8 x}{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 (x \cdot 1 + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$8 (x + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (x + \ln (8 x) (2 x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x + 8 (\ln (8 x) (2 x))$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$8 x + 16 \ln (8 x) x$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$16 x \ln (8 x) + 8 x$