Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [75 x]$ .

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Paso 2.1

Como $75$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $75 x$ con respecto a $x$ es $75 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 2.3

Multiplica $75$ por $1$ .

$0 + 75 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 75 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 75 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 + 75 - 4 x + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 4

Como $8 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 0.5 x y]$ .

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Paso 5.1

Como $- 0.5 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.5 x y$ con respecto a $x$ es $- 0.5 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 5.3

Multiplica $- 0.5$ por $1$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

Paso 6

Como $4 z^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 z^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los términos.

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Paso 7.1.1

Suma $0$ y $75$ .

$75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

Paso 7.1.2

Suma $75 - 4 x$ y $0$ .

$75 - 4 x - 0.5 y + 0$

Paso 7.1.3

Suma $75 - 4 x - 0.5 y$ y $0$ .

$75 - 4 x - 0.5 y$

Paso 7.2

Reordena los términos.

$- 4 x - 0.5 y + 75$