Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 e^{x} \ln (x)$

Paso 1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{x} \ln (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 4

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \frac{e^{x}}{x} + 3 (\ln (x) e^{x})$

Paso 6.2

Combina $3$ y $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{3 e^{x}}{x} + 3 \ln (x) e^{x}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$3 e^{x} \ln (x) + \frac{3 e^{x}}{x}$