Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 2 \ln (4 x)$

Paso 1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \ln (4 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$- 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$- 2 (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{4 x}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{- 4}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{2}{x} \cdot 1$

Paso 3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2}{x}$