Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}]$ .

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Paso 2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{- 5 x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 5 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 5 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 5 x$ .

$- 2 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.5

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 2 (e^{- 5 x} \cdot - 5) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.6

Mueve $- 5$ a la izquierda de $e^{- 5 x}$ .

$- 2 (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 2.7

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{0.2}]$ .

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Paso 3.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{0.2}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}]$ .

$10 e^{- 5 x} + 15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 0.2$ .

$10 e^{- 5 x} + 15 (0.2 x^{- 0.8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.3

Multiplica $0.2$ por $15$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 4

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + 0$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 \frac{1}{x^{0.8}} + 0$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{0.8}}$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}} + 0$

Paso 5.2.2

Suma $10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$ y $0$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$