Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} e^{2 x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$x^{5} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{5} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x^{5} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$x^{5} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x^{5} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (5 x^{4})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$

Paso 4.2

Reordena los factores en $2 e^{2 x} x^{5} + 5 e^{2 x} x^{4}$ .

$2 x^{5} e^{2 x} + 5 x^{4} e^{2 x}$