Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x - 7}{x^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 7$ y $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) (2 x)}{x^{4}}$

Paso 2.7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Paso 2.7.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 2 (x - 7) x$ .

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Paso 2.7.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 (x - 7) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Paso 2.7.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x - 7))$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Paso 3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2 (x - 7)}{x^{3}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot - 7}{x^{3}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 7$ .

$\frac{x - 2 x + 14}{x^{3}}$

Paso 4.2.2

Resta $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 14}{x^{3}}$

Paso 4.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 14}{x^{3}}$

Paso 4.4

Reescribe $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{x^{3}}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x - 14)}{x^{3}}$

Paso 4.6

Reescribe $- (x - 14)$ como $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{- 1 (x - 14)}{x^{3}}$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 14}{x^{3}}$