Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 2.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Paso 2.2.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

Paso 4

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Divide cada término en $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Paso 5.3.2

Divide $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 6

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 8

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 9

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 9.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.2

Combina fracciones.

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Paso 9.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 9.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 10

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\sin (\frac{π}{3})$

Paso 12

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13

$x = \frac{π}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{π}{3}$ es un mínimo local

Paso 14

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 14.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

Paso 14.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ .

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Paso 14.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

Paso 14.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Paso 14.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 14.2.2

La respuesta final es $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 15

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 16

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 16.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Paso 16.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 17

$x = \frac{5 π}{3}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{5 π}{3}$ es un máximo local

Paso 18

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Paso 18.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 18.2

Simplifica el resultado.

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Paso 18.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ .

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Paso 18.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 18.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 18.2.1.2

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Paso 18.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.1.4

Multiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 18.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 18.2.1.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 18.2.2

La respuesta final es $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 19

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ es un mínimo local

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ es un máximo local

Paso 20