Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{3 x^{7}}{e^{x}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.5

Combina $3$ y $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.2.1.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.2.2

Reordena los factores en $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.3

Reordena los términos.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.4

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.4.1

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.4.2

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.4.3

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Paso 1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Paso 1.6.5.2.4

Divide $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ por $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Paso 1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Paso 1.6.7

Multiplica $7$ por $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Paso 1.6.8

Multiplica $x^{6}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.8.1

Mueve $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Paso 1.6.8.2

Multiplica $x$ por $x^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Paso 1.6.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Paso 1.6.8.3

Suma $1$ y $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Paso 1.6.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Paso 1.6.10

Reordena los factores en $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21 x^{6} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $21 \frac{d}{d x} [x^{6} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.2.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{7} e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{- x})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.3.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.3.9

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $21$ .

$f'' (x) = - 21 (x^{6} (e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $6$ por $21$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 (e^{- x} (x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.4.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 (x^{7} (e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Paso 2.4.3.4

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x} - 21 (e^{- x} (x^{6}))$

Paso 2.4.3.5

Resta $21 e^{- x} x^{6}$ de $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.3.5.1

Mueve $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Paso 2.4.3.5.2

Resta $21 x^{6} e^{- x}$ de $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Paso 2.4.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$

Paso 2.4.5

Reordena los factores en $- 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 x^{5} e^{- x} + 3 x^{7} e^{- x}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Paso 4.1.2

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.5

Combina $3$ y $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Multiplica $7$ por $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.2.2

Reordena los factores en $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.3

Reordena los términos.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.4

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.4.1

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.4.2

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.4.3

Factoriza $3 e^{x} x^{6}$ de $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.5

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Paso 4.1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 4.1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 4.1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Paso 4.1.6.5.2.4

Divide $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ por $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Paso 4.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Paso 4.1.6.7

Multiplica $7$ por $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Paso 4.1.6.8

Multiplica $x^{6}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.8.1

Mueve $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Paso 4.1.6.8.2

Multiplica $x$ por $x^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Paso 4.1.6.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Paso 4.1.6.8.3

Suma $1$ y $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Paso 4.1.6.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Paso 4.1.6.10

Reordena los factores en $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f' (x) = 21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $3 x^{6} e^{- x}$ de $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $3 x^{6} e^{- x}$ de $21 x^{6} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 x^{6} e^{- x}$ de $- 3 x^{7} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 x^{6} e^{- x}$ de $3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x)$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{6} = 0$

$e^{- x} = 0$

$7 - x = 0$

Paso 5.4

Establece $x^{6}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Establece $x^{6}$ igual a $0$ .

$x^{6} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $x^{6} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt[6]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Paso 5.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 5.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.5.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 5.6

Establece $7 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.1

Establece $7 - x$ igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Paso 5.6.2

Resuelve $7 - x = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 7$

Paso 5.6.2.2

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 5.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 5.6.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 5.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.6.2.2.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Paso 5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 7$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 7$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 42 {(0)}^{6} e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 42 \cdot 0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 42$ por $0$ .

$0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 126 \cdot 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.7

Multiplica $126$ por $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.10

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Paso 9.1.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0 + 3 \cdot 0 e^{- (0)}$

Paso 9.1.12

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Paso 9.1.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Paso 9.1.14

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Paso 9.1.15

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 9.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 9.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 21 {(- 2)}^{6} e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$f' (- 2) = 21 \cdot (64 e^{- (- 2)}) - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $21$ por $64$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Paso 10.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Paso 10.2.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $7$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 \cdot (- 128 e^{- (- 2)})$

Paso 10.2.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 128$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{- (- 2)}$

Paso 10.2.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{2}$

Paso 10.2.2.2

Suma $1344 e^{2}$ y $384 e^{2}$ .

$f' (- 2) = 1728 e^{2}$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $1728 e^{2}$ .

$1728 e^{2}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(0, 7)$ en la primera derivada $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 21 {(4)}^{6} e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $6$ .

$f' (4) = 21 \cdot (4096 e^{- (4)}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Paso 10.3.2.1.2

Multiplica $21$ por $4096$ .

$f' (4) = 86016 e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Paso 10.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = 86016 e^{- 4} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Paso 10.3.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = 86016 (\frac{1}{e^{4}}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Paso 10.3.2.1.5

Combina $86016$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Paso 10.3.2.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 \cdot (16384 e^{- (4)})$

Paso 10.3.2.1.7

Multiplica $- 3$ por $16384$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- (4)}$

Paso 10.3.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- 4}$

Paso 10.3.2.1.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 \frac{1}{e^{4}}$

Paso 10.3.2.1.10

Combina $- 49152$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} + \frac{- 49152}{e^{4}}$

Paso 10.3.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - \frac{49152}{e^{4}}$

Paso 10.3.2.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (4) = \frac{86016 - 49152}{e^{4}}$

Paso 10.3.2.2.2

Resta $49152$ de $86016$ .

$f' (4) = \frac{36864}{e^{4}}$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $\frac{36864}{e^{4}}$ .

$\frac{36864}{e^{4}}$

Paso 10.4

Sustituye cualquier número, como $10$ , del intervalo $(7, \infty)$ en la primera derivada $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $10$ en la expresión.

$f' (10) = 21 {(10)}^{6} e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Paso 10.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $6$ .

$f' (10) = 21 \cdot (1000000 e^{- (10)}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Paso 10.4.2.1.2

Multiplica $21$ por $1000000$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Paso 10.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- 10} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Paso 10.4.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = 21000000 (\frac{1}{e^{10}}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Paso 10.4.2.1.5

Combina $21000000$ y $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Paso 10.4.2.1.6

Eleva $10$ a la potencia de $7$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 \cdot (10000000 e^{- (10)})$

Paso 10.4.2.1.7

Multiplica $- 3$ por $10000000$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- (10)}$

Paso 10.4.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- 10}$

Paso 10.4.2.1.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 \frac{1}{e^{10}}$

Paso 10.4.2.1.10

Combina $- 30000000$ y $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} + \frac{- 30000000}{e^{10}}$

Paso 10.4.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - \frac{30000000}{e^{10}}$

Paso 10.4.2.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (10) = \frac{21000000 - 30000000}{e^{10}}$

Paso 10.4.2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.2.2.2.1

Resta $30000000$ de $21000000$ .

$f' (10) = \frac{- 9000000}{e^{10}}$

Paso 10.4.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (10) = - \frac{9000000}{e^{10}}$

Paso 10.4.2.3

La respuesta final es $- \frac{9000000}{e^{10}}$ .

$- \frac{9000000}{e^{10}}$

Paso 10.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 7$ , $x = 7$ es un máximo local.

$x = 7$ es un máximo local

Paso 11