Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Paso 1.5.2

Combina fracciones.

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Paso 1.5.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 1.5.2.2

Combina $4$ y $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 1.6.2.2

Reordena los factores en $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Paso 1.6.3

Reordena los términos.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 1.6.4

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

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Paso 1.6.4.1

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 1.6.4.2

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Paso 1.6.4.3

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Paso 1.6.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{8}$ .

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Paso 1.6.5.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Paso 1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.6.5.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

Paso 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

Paso 2.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

Paso 2.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.5.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.7.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

Paso 2.7.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.7.2.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Paso 2.7.2.2

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

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Paso 2.7.2.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Paso 2.7.2.2.2

Factoriza $x^{4}$ de $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Paso 2.7.2.2.3

Factoriza $x^{4}$ de $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Paso 2.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Paso 2.8.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Paso 2.8.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

Paso 2.9

Combina $4$ y $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Paso 2.10

Simplifica.

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Paso 2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Paso 2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Paso 2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.10.5.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.10.5.1.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.1.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.1.4

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.1.6

Multiplica $20$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.2

Resta $16 x e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.3

Resta $20 e^{x} x$ de $- 12 x e^{x}$ .

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Paso 2.10.5.3.1

Mueve $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.5.3.2

Resta $20 x e^{x}$ de $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.6

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.10.7.1

Factoriza $4 e^{x}$ de $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ .

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Paso 2.10.7.1.1

Factoriza $4 e^{x}$ de $- 32 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.7.1.2

Factoriza $4 e^{x}$ de $4 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Paso 2.10.7.1.3

Factoriza $4 e^{x}$ de $80 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Paso 2.10.7.1.4

Factoriza $4 e^{x}$ de $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Paso 2.10.7.1.5

Factoriza $4 e^{x}$ de $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

Paso 2.10.7.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

Paso 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Paso 4.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Paso 4.1.5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

Paso 4.1.5.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.5.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

Paso 4.1.5.2.2

Combina $4$ y $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.6.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.2.2

Reordena los factores en $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.4

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

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Paso 4.1.6.4.1

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.4.2

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.4.3

Factoriza $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{8}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.5.1

Factoriza $x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Paso 4.1.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.6.5.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 4.1.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Paso 4.1.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 5.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 5.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 5.3.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 e^{x} (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 4$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{5} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 6.2.2

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 6.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 6.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 4$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $4$ y ${(4)}^{6}$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $4$ de $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

Paso 9.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $4$ de ${(4)}^{6}$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Paso 9.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Paso 9.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

Paso 9.2.3

Resta $32$ de $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

Paso 9.2.4

Suma $- 16$ y $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $4$ y $1024$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $4$ de $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $1024$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{4}}{256}$

Paso 10

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $4$ y ${(4)}^{4}$ .

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Paso 11.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 e^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

Paso 11.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1.2.1

Factoriza $4$ de ${(4)}^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

Paso 11.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

Paso 11.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

Paso 11.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ es un mínimo local

Paso 13