Cálculo Ejemplos

$f (x) = | x - 3 |$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + 0)$

Paso 1.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ por $1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 3$ y $g (x) = | x - 3 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $| x - 3 |$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.3.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.4.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.4.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1)}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.4.4.2

Multiplica $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{x - 3}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $- x + 3$ por $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- x + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.4

Reescribe $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.5

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.6

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{1 + 1}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.2

Para escribir $| x - 3 |$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{| x - 3 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 |}{| x - 3 |} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1

Multiplica $| x - 3 | | x - 3 |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{1 + 1} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{2} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.2

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.3

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x - 3) - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 x - 3 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.4.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.5

Reescribe ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.6

Expande $(x - 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.7.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 6 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.9.1

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.9.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.10

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11

Reescribe $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.11.1

Reagrupa los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.11.2.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.2

Factoriza $- 1$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.3

Factoriza $- 1$ de $| x^{2} - 6 x + 9 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.3

Factoriza $- 1$ de $- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.4.11.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (9) - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.3.3

Reescribe $- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ como $- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.4.11.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.1

Reescribe $\frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$ como un producto.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |} \cdot \frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$ por $\frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

Paso 2.5.3.3

Multiplica ${| x - 3 |}^{2}$ por $| x - 3 |$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.3.1

Multiplica ${| x - 3 |}^{2}$ por $| x - 3 |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.3.3.1.1

Eleva $| x - 3 |$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

Paso 2.5.3.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2 + 1}}$

Paso 2.5.3.3.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{3}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Paso 4.1.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

Paso 4.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

Paso 4.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Paso 4.1.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0)$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$x - 3 = 0$

Paso 5.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$| x - 3 | = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm 0$

Paso 6.2.2

Más o menos $0$ es $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 6.2.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 3$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 3$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| (3) - 3 |}^{3}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Resta $3$ de $3$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| 0 |}^{3}}$

Paso 9.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0^{3}}$

Paso 9.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, 3)$ en la primera derivada $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{(0) - 3}{| (0) - 3 |}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Resta $3$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| 0 - 3 |}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1

Resta $3$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Paso 10.2.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 3$ y $0$ es $3$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{3}$

Paso 10.2.2.3

Divide $- 3$ por $3$ .

$f' (0) = - 1$

Paso 10.2.2.4

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(3, \infty)$ en la primera derivada $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = \frac{(6) - 3}{| (6) - 3 |}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.1

Resta $3$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 6 - 3 |}$

Paso 10.3.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.2.2.1

Resta $3$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 3 |}$

Paso 10.3.2.2.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $3$ es $3$ .

$f' (6) = \frac{3}{3}$

Paso 10.3.2.3

Divide $3$ por $3$ .

$f' (6) = 1$

Paso 10.3.2.4

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 3$ , $x = 3$ es un mínimo local.

$x = 3$ es un mínimo local

Paso 11