Cálculo Ejemplos

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{- 7} + x^{7}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Combina $- 7$ y $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Paso 1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Paso 1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{6}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $6$ por $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{7}{x^{8}}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{8}}$ como ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{8}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{8})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Paso 2.3.6

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 16}$ por $x^{7}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Paso 2.3.7.3

Resta $16$ de $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 8$ por $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Paso 2.4.2

Combina $56$ y $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $42 x^{5}$ con respecto a $x$ es $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $5$ por $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $56$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{56}{x^{9}}$ con respecto a $x$ es $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Paso 3.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{9}}$ como ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{9}$ .

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Paso 3.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 3.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Paso 3.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{9})}^{- 2}$ .

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Paso 3.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $9$ por $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Paso 3.3.6

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Paso 3.3.7

Multiplica $x^{- 18}$ por $x^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.7.1

Mueve $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Paso 3.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Paso 3.3.7.3

Resta $18$ de $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 9$ por $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Paso 3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $- 504$ y $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Paso 3.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $210$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $210 x^{4}$ con respecto a $x$ es $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Paso 4.2.3

Multiplica $4$ por $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $- 504$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{504}{x^{10}}$ con respecto a $x$ es $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{10}}$ como ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{10}$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Paso 4.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{10})}^{- 2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Paso 4.3.6

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Paso 4.3.7

Multiplica $x^{- 20}$ por $x^{9}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.7.1

Mueve $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Paso 4.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Paso 4.3.7.3

Resta $20$ de $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Paso 4.3.8

Multiplica $- 10$ por $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Paso 4.4.2

Combina $5040$ y $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$